电赛培训-23-07-19

pid控制系统

公式

$$ u(t)=K_p e(t)+K_i \int_0^t e(\tau) d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt} $$

作用

• 比例项：减小误差
• 积分项：消除稳态误差
• 微分项：减小超调量

超调量

$$ \xi = \frac{e^{-\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}}{\sqrt{1-\zeta^2}} $$
超调量的意义在于：在没有积分项的情况下，超调量越大，系统的响应越快，但是超调量越大，系统的稳定性越差
其中 $\zeta$ 是阻尼系数，$\zeta$ 越大，超调量越小，系统越稳定

误差

低频抖动：积分项过大
高频抖动：微分项过大

例子

状态量：超声波，速度，MPU6050姿态，

卡尔曼滤波

作用

利用间接测量值，计算最优估算，组合各种可能受到噪音影响的数据源。

原理

状态观察

状态观察是指，通过测量值，计算出状态量的过程，
状态观测器得到的估计状态表示为$ \hat{x} $

状态预测

根据数学模型，从已有的状态量，通过计算得到了一个估计量$ \hat{x} $
然而，数学模型的预测有其局限性，初值条件不同所以不能得到相同的结果。
所以需要状态估算器

状态估算

需要估算值收敛到实际值，所以需要反馈，反馈误差为e
$$ e = x - \hat{x} $$假设一个微分方程：
$$ \dot{x} = Ax + Bu $$$$ y = Cx $$以上是一个真实系统
$$ \dot{\hat{x}} = A\hat{x} + Bu + Ke$$$$ \hat{y} = C\hat{x} $$这是系统估算模型

两方程分别相减得到：
$$ \dot{e} =(A- KC)·e$$$$ y-\hat{y} = C·e$$
解得:
$$e(t) = e^{A-KC} ·e(0)$$
若A-KC的值小于0，那么e(t)会收敛到0，即估算值收敛到实际值，实际上，k可以加速收敛过程。

例子

$$ \dot{x} = Ax + Bu + w$$$$ y = Cx + v$$
w是过程噪声，v是测量噪声，他们都服从高斯分布，且互相独立。
在初始条件下，状态估算器估计了$\hat{x}$，真实值在这个中心的正态分布周围
在多轮预测后，估计值的分布会比初始条件下的估计分布更大，同时，还有一个测量方程得到的均值与方差都不同的分布，这两个分布的相乘就得到优化估计。
事实上，卡尔曼滤波器方程是一个随机系统的状态观测器
公式如下：
$$ \hat{x}k=A·\hat{x}{k-1} +B·u_k +K_k(y_k - C(A·\hat{x}+B·u_k)) $$
其中$\hat{x_k^-}$是前项估测，代表前两项的和，所以公式写为：
$$ \hat{x}_k^ = A·\hat{x_k^-} ++K_k(y_k - C\hat{x_k^-}) $$

所以结果成为后验估值。

误差协方差矩阵P
$$ P_k^- = AP_{k-1}A^T +Q$$
这个就是对矩阵P的估值

第二步，更新状态
$$ K_k = \frac{P_k^-C^T}{(CP_k^-C^T+R)} $$
这个是卡尔曼增益，使得更新K后误差协方差最小
$$ P_k = (I-K_kC)P_k^- $$